Mục lục
Zeno là một nhà triết học Hy Lạp, sống ở thế kỷ thứ 5 trước công nguyên. Thật kỳ lạ là sau 2500 năm, Zeno vẫn để lại cho chúng ta những bài toán thú vị và hại não. Một trong số những bài toán thú vị nhất của ông được gọi là nghịch lý Zeno. Đây là nghịch lý rất nổi tiếng liên quan đến cuộc chạy đua giữa A-sin và một con rùa. A-sin là một chiến binh trong thần thoại Hy Lạp, thường được biết đến với câu nói gót chân A-sin để chỉ về điểm yếu của một người. Ở đây, chúng ta sẽ không nói đến gót chân của A-sin. Mặc dù A-sin có điểm yếu ở gót chân nhưng anh ta vẫn có sức mạnh phi thường và hoàn toàn có thể chiến thắng một con rùa. Tuy nhiên để cho cuộc chơi là cân bằng hơn, A-sin sẽ cho chú rùa được chạy trước một đoạn. Nghịch lý Zeno chứng minh rằng, A-sin có chạy nhanh cỡ nào thì anh ta cũng không bao giờ có thể đuổi kịp với chú rùa. Giả định là A-sin rất quyết tâm trong cuộc đua chứ không lười nhát như chú thỏ trong câu chuyện Rùa Và Thỏ.
Nghịch lý ZENO
Lập luận của Zeno
Điều đầu tiên mà A-sin cần làm là bắt kịp vị trí của chú rùa đang khởi hành. Mặc dù rất chậm chạp, chú ta rất cần mẫn nên trong thời gian A-sin đuổi theo chú ta đã đi được một đoạn ngắn tiếp theo. Tiếp tục A-sin loại phải đuổi theo để bắt kịp với vị trí mới của chú rùa. Và khi đó chú rùa lại tiếp tục đi được một đoạn khác. Dù khoảng cách giữa A-sin và chú rùa nhỏ cỡ nào thì A-sin luôn luôn đi sau chú rùa và mất thời gian để bắt kịp. Vì vậy, dù A-sin chạy nhanh cỡ nào, chú rùa thì cần tiếp tục đi để tạo khoảng cách trong A-sin đang phải bắt kịp với khoảng cách trước đó. Tóm lại A-sin không thể nào đuổi kịp được số rùa. Chú rùa không chỉ thắng được thỏ và còn chiến thắng được cả A-sin vĩ đại. Các bạn khi xem đến đây chắc chắn sẽ thấy rằng có điều gì đó sai sai. Có lẽ, không ai nghĩ rằng chú rùa sẽ chiến thắng trong cuộc đua này. Vì vậy, phải có sai lầm nào đó trong lập luận của Zeno. Khi nghe những lý lẽ của Zeno, Diogenes của thành Sinope đã không nói gì cả, chỉ đứng dậy và bước đi nhằm chứng minh sai lầm của Zeno. Tuy nhiên, điểm cốt lõi ở đây không phải là chứng minh Zeno sai mà là tìm ra sai lầm trong lập luận của Zeno. Lập luận của Zeno sai ở đâu? Zeno đã rất tự tin khi cho rằng 1.000 năm sau cũng không ai có thể lý giải được bài toán này.
Chứng minh sai lầm trong lập luận của Zeno
Thực tế thì chỉ chưa đến 100 năm sau, Aristotle đã lý giải được nó. Tuy vậy, phải đến thế kỷ thứ 19 người ta mới đưa ra được những chứng minh về mặt toán học . Để đơn giản hãy giả sử A-sin chạy nhanh gấp đôi chú rùa và chú rùa được chạy trước 1/2 km so với A-sim. Khi bắt đầu, chú rùa được chạy trước 1/2 km đến khi A-sin bắt kịp được vị trí của chú rùa. Chú rùa đã chạy được 1/4 km. Khi A-sin chạy được 1/4 km, chú rùa đã chạy được 1/8 km. Vì vậy, tổng quãng đường mà A-sin phải chạy để đuổi kịp chú rùa sẽ là:
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/6 + 1/32 +…
Đây là tổng của một chuỗi số vô hạn có vô hạn phần tử trong chuỗi số này. Vì vậy, theo lý lẽ của Zeno, tổng này phải có giá trị là vô hạn. Tổng của vô hạn phải có giá trị là vô hạn đúng không? A-sin sẽ chạy mãi mà không thể đuổi kịp chú rùa nhưng thực sự thì có phải như vậy không? Hãy đặt giá trị của tổng này bằng X, làm thế nào để tính giá trị của X. Nhìn vào công thức này, nếu bạn là một học sinh giỏi toán bạn có thể nhận ra đây là tổng của một cấp số nhân. Cấp số nhân là một chuỗi số mà phần tử phía sau được nhân với 1 tỷ lệ so với phần tử trước đó. Trong ví dụ này, mỗi phần tử sẽ giảm đi 1/2 lần so với phần tử trước đó. Để tính giá trị của X hãy nhân 2 vế của phương trình với 2.
2X = 2(1/2 +1/4 +1/8+1/16+1/32+…)
Như vậy 2X = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + …Bạn có thể thấy một điểm thú vị ở đây là tổng của các phần tử từ 1/2, 1/4,… chính là giá trị của X. Vì vậy, phương trình này có thể được viết lại là 2X= 1 +X, trừ 2 vế của phương trình này cho X chúng ta sẽ được X = 11. Như vậy chúng ta chứng minh được rằng 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/6 + 1/32 +…=1 Vì vậy, tổng chuỗi số vô hạn này có một giá trị hữu hạn là bằng 1 chứ không phải có giá trị vô cùng.
A-sin sẽ bắt kịp chú rùa sau 1 km. Như vậy, sai lầm của Zeno là nghĩ rằng tổng của một dãy số vô hạn sẽ có giá trị là vô hạn. Tuy nhiên chúng ta chứng minh được rằng giá trị tổng này có thể là hữu hạn. Các giá trị của chuỗi số sẽ giảm dần theo cấp số nhân và sẽ tiến dần về bằng 0. Nên tổng của một chuỗi cấp số nhân có thể là hữu hạn. A-sin có thể bắt kịp được rùa, mặc dù có vô số các khoảng cách cần phải bắt kịp.
Nếu bạn ham muốn tìm hiểu thêm, có thể tìm hiểu về chuỗi số trong Toán học. Thực tế thì tổng của một chuỗi số có thể là hữu hạn hoặc là vô hạn. Chẳng hạn, tổng 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + … là hữu hạn nhưng tổng của 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 +… sẽ có giá trị là vô hạn. Đó là một điều rất thú vị. Một biến thể khác của nghịch lý Zeno được gọi là nghịch lý phân đôi hay là nghịch lý lưỡng phân.
Nghịch lý phân đôi – nghịch lỹ lưỡng phân
Một biến thể khác của nghịch lý Zeno là nghịch lý lưỡng phân hay nghịch lý phân đôi. Giả sử bạn đang ngồi ở phòng khách và muốn chiếc trên tủ lạnh để lấy đồ ăn nhưng trước khi đến được với cái tủ lạnh bạn cần di chuyển đến điểm chính giữa quãng đường. Tiếp theo bạn lại mất thời gian để di chuyển một nửa quãng đường còn lại. Cứ tiếp tục như thế, vì bạn luôn phải di chuyển 1/2 quãng đường còn lại. Bạn sẽ không bao giờ đến được đúng vị trí của cái tủ lạnh. Bạn sẽ phải chịu đói vì không thể lấy được đồ ăn.
Thậm chí Zeno khái quát hóa nghịch lý trên để nói rằng: Nếu bạn không thể đến được với cái tủ lạnh, bạn cũng không thể đến được 1/2 quãng đường đến tủ lạnh hoặc là bất kỳ vị trí nào khác. Sự chuyển động là không thể xảy ra, điều này thật sự là quá vô lý nhưng nó hoàn toàn phù hợp với lập luận của nghịch lý phân đôi. Tất nhiên là chúng ta có thể đến được với cái tủ lạnh hoặc là bất kỳ vị trí nào mà chúng ta mong muốn. Vì vậy, lập luận này là sai.
Cách chứng minh của nó cũng hoàn toàn tương tự như nghịch lý Zeno. Quãng đường mà bạn phải di chuyển sẽ là 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + … bằng 1.
Vì vậy bạn sẽ đến được với tủ lạnh của mình mặc dù có vô số các quãng đường cần phải di chuyển. Những nghịch lý trên có thể đặt ra cho bạn một câu hỏi? Về mặt toán học, chúng ta chứng minh được rằng một tổng chuỗi số vô hạn có thể nhận giá trị hữu hạn. Nhưng trong thực tế, liệu rằng chúng ta có thể thực hiện vô số những quãng đường như vậy không? A-sin có vô số khoảng cách để san lấp trước khi bắt kịp được chú rùa. Bạn phải thực hiện vô số những giá trị 1/2 quãng đường để đến được với cái tủ lạnh. Nếu bạn biết một chút về toán học, bạn có thể bắt gặp một khái niệm về giá trị vô cùng được kí hiệu như sau: ∞ Giống như một kí hiệu thường thấy của những giáo phái bí ẩn và kỳ lạ. Giá trị vô cùng hay vô hạn là một thứ có vẻ như mang tính siêu nhiên và không có thật. Nó là một khái niệm trừu tượng và mang nhiều tính triết học. Hãy thử nghĩ về giá trị vô cùng trong vài phút, tôi tin rằng bạn sẽ gặp phải một cơn đau đầu không thể nhẹ. Tuy vậy, giá trị vô cùng thật ra là một thứ mà chúng ta trải qua hàng ngày. Khi bạn đi từ một điểm A đến điểm B, có vô số những vị trí bạn phải đi qua giữa chúng hoặc thậm chí bạn muốn đến một điểm C nằm giữa A và B, cũng có vô số giá trị nằm giữa A và C. Mặc dù có vô số vị trí mà bạn phải đi qua, bạn vẫn có thể di chuyển từ A đến C hoặc từ A đến B. Bạn có thể đi qua vô số vị trí trong một khoảng thời gian hữu hạn. Vì vậy, con số vô cùng không phải là thứ gì đó quá đáng sợ. Bạn sẽ gặp phải nó hàng ngày.
Kết luận vui
Thật đáng ngạc nhiên là một ông lão từ 2.500 năm trước có thể đưa ra và bài toán hóc búa như vậy. Hãy đừng nghĩ đến nghịch lý này khi bạn đang khó ngủ, vì nó hoàn toàn có thể khiến bạn chằng trọc cả đêm và suy nghĩ lại về mọi hành động của mình. Để kết luận lại đừng vì nghịch lý Zeno mà trở nên quá lo sợ, không dám đi lấy đồ ăn trong tủ lạnh. Hãy tin tưởng rằng mình có thể làm được những điều phi thường, bạn có thể thực hiện vô hạn hành động trong một khoảng thời gian hữu hạn. Dù sao thì những nhiệm vụ tưởng chừng bất khả thi vẫn sẽ được thực hiện.
