Hôm nay chúng ta sẽ tìm hiểu về nghịch lý hai phong bì. Đây có vẻ là một bài toán nhìn có vẻ đơn giản nhưng thực ra rất khó giải thích. Bạn sẽ thấy rất bất ngờ và khó tin về kết luận của bài Toán này.
Bài toán 2 phong bì
Giả sử tôi đưa cho bạn 2 phong bì dán kín và bạn được phép lựa chọn 1 trong 2, biết rằng 1 phong bì chứa số tiền gấp đôi phong bì còn lại. Ở đây chúng ta không thể biết phong bì nào có nhiều tiền hơn vì vậy có xác suất 50/50 là phong bì bạn chọn sẽ có số tiền cao hơn và vì xác suất là như nhau chúng ta có thể lựa chọn ngẫu nhiên một trong hai phong bì.
Giả sử bạn lựa chọn phong bì đầu tiên nếu bạn thích phong thứ hai hơn, không sao cả tôi sẽ đổi chỗ 2 phong bì này để phong bì bạn chọn luôn ở vị trí đầu tiên. Bây giờ tôi cho bạn được mở phong bì mà bạn chọn ra để thấy được số tiền trong đó.
Nhưng trước khi bạn ra về với số tiền này tôi cho phép bạn được thay đổi lựa chọn của mình và chuyển sang phong bì còn lại chưa được mở, bạn có chuyển sang phong bì còn lại không hay sẽ giữ nguyên lựa chọn ban đầu của mình.
Nhìn vào đây bạn sẽ nghĩ rằng chẳng lý do gì để đổi sang phong bì kia nếu không có thông tin gì. Việc lựa chọn phong bì 1 hay 2 là như nhau và vì bạn đã chọn phong bì 1 bạn sẽ không muốn thay đổi lựa chọn đó.
Có thể đơn giản là vì bạn thấy phong bì 1 đẹp hơn, bạn linh cảm nó có nhiều tiền hơn hoặc đơn giản là bạn thích con số 1 hơn. Nhưng sẽ ra sao nếu tôi nói rằng bạn nên chuyển sang phong bì còn lại vì nó có nhiều tiền hơn.
Nó có vẻ như là một nhiệm vụ bất khả thi nhưng tôi sẽ tìm cách thuyết phục bạn chuyển sang phong bì còn lại mà bạn không chọn. Tôi sẽ chứng minh rằng phong bì thứ 2 có nhiều tiền hơn với trung bình và bạn nên chuyển.
Hãy gọi số tiền trong phong bì 1 là A, khi đó phong bì 2 chỉ có thể chứa 2A ngoặc 1/2 A với xác suất là 50/50.
- Có 50% khả năng phong bì thứ 2 chứa nhiều tiền hơn giá trị là 2A.
- 50% khả năng còn lại nó có ít tiền hơn với giá trị là A/2.
Bây giờ sẽ ra sao nếu chúng ta chuyển sang phong bì 2. Trong trường hợp phong bì 2 chứa nhiều tiền hơn chúng ta sẽ nhận thêm về được A đồng. Còn nếu không phong bì 2 ít tiền hơn chúng ta chỉ mất đi A/2 đồng. Như vậy rõ ràng là việc chuyển sang phong bì 2 là có lợi hơn đúng không?
Chúng ta có khả năng nhận về nhiều hơn so với phần có thể bị mất đi. Để minh họa hãy giả sử phong bì 1 có 100k khi đó phong bì 2 có thể có 200k hoặc 50k với xác suất là 50/50. Nếu phong bì 2 có 200k chúng ta sẽ lãi 100k nếu chuyển đổi. Còn nếu nó chỉ có 50k, chúng ta chỉ mất đi 50k. Rõ ràng là tốt hơn nếu chuyển đổi. Điều này không chỉ đúng nếu phong bì 1 có 100k mà nó đúng với mọi giá trị có thể có hoặc phong bì 1 có thể chứa 1 triệu, 2 triệu hoặc 10 triệu nên điều này đúng với mọi giá trị của A. Vì vậy dù bạn mở ra phong bì 1 với số tiền là bao nhiêu tôi đều có thể chứng minh là phong bì 2 có nhiều tiền hơn về mặt trung bình.
Để chứng minh bằng toán học chúng ta sẽ tính toán giá trị kỳ vọng của phong bì 2. Giá trị kỳ vọng là một khái niệm trong xác suất để chỉ giá trị trung bình có thể đạt được của phong bì 2. Nó bằng với 50% x 2A + 50% x A/2. Chúng ta tính tổng của xác suất nhân với giá trị có thể đạt được. Giá trị này bằng với A + 0,25A = 1,25A và nó lớn hơn A.
Như vậy giá trị kỳ vọng của phong bì 2 là lớn hơn phong bì 1, thể hiện là về mặt trung bình nó có nhiều tiền hơn so với phong bì 1. Nhìn vào đây, rõ ràng đó là một món hời mà chúng ta nên chuyển đổi đúng không? Nhưng điều này trái ngược lại với kết luận ban đầu của chúng ta là lựa chọn phong bì nào cũng giống nhau mà thôi. Điều này tạo ra một nghịch lý tại sao 2 phong bì có khả năng như nhau, nhưng tôi lại chứng minh được rằng phong bì 2 là tốt hơn. Từ đó chắc chắn phải có một sai lầm trong lập luận của tôi mặc dù nó có vẻ rất thuyết phục.
Nghịch lý hai phong bì
Hãy dừng bài viết lại và thử suy nghĩ xem có điều gì sai trong một lập luận này. Sau đó chúng ta sẽ cùng thảo luận về đáp án. Ok! Hãy đi vào lý giải nghịch lý này. Trước hết bạn có bị thuyết phục bởi lập luận của tôi hay không? Nếu bạn bị thuyết phục và tin rằng thật sự phong bì 2 là tốt hơn và bạn đồng ý chuyển. Tôi sẽ cho bạn lựa chọn nữa, tôi sẽ tiếp tục cho bạn quyền được đổi về lựa chọn ban đầu của mình. Với một lập luận tương tự tôi có thể chứng minh bây giờ phong bì 1 lại có nhiều tiền hơn phong bì 2. Cứ như thế mỗi lần bạn thay đổi lựa chọn số tiền kỳ vọng sẽ tiếp tục tăng lên. Vì vậy nếu bạn đủ kiên nhẫn đổi qua đổi lại các phong bì, chẳng mấy chốc bạn sẽ thành một tỷ phú. Tất nhiên là chúng ta không thể làm tỷ phú chỉ bằng cách đổi phong bì.
Vậy lập luận đã sai đâu?
Lập luận bài toán sai – ảnh minh họa
Lập luận bị sai vì nó không cố định tổng giá trị 2 phong bì. Chúng ta thấy rằng trường đầu tiên tổng giá trị là 3A trong khi chọn thứ hai có giá trị là 3A/2 là 2 con số khác nhau. Cách làm đúng là cần cố định tổng giá trị của 2 phong bì.
Giả sử tổng giá trị 2 phong bì là 3X, trong đó 1 phong bì chứa X và 1 phong bì chứa 2X. Nếu phong bì 1 chứa X, khi đó nếu bạn chuyển sang phong bì 2 bạn sẽ nhận thêm được X. Còn nếu phong bì 1 chứa 2X bạn chuyển sang phong bì 2 làm bạn mất đi X. Do vậy giá trị có thể nhận được và mất đi là như nhau. Kỳ vọng giá trị có thể nhận thêm được nếu chuyển sang phong bì 2 sẽ là 1/2 x X + 1/2 x (-X) = 0. Vì vậy về trung bình chúng ta không nhận thêm được gì khi chuyển sang phong bì lại.
Lý giải đúng cho bài toán
Một cách khác để lý giải là thấy rằng trong công thức ban đầu giá trị 2A và A/2 thực chất là hai giá A trị khác nhau. Trong 2 trường hợp khác nhau và không thể được dùng trong cùng một công thức. Đó là lý do chúng ta cần giữ tổng của 2 phong bì là không đổi để thấy rằng thực chất 2 phong bì là như nhau. Và nếu bạn được chơi trò chơi này đừng tìm cách đổi qua đổi lại phong bì, vì điều đó sẽ không giúp bạn có thêm nhiều tiền hơn đâu.
